Integral Tak-tentu Metode Substitusi

DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE.

Ini merupakan lanjutan materi integral sebelumnya yang merupakan materi tentang pengenalan integral tak tentu. Pada pembahasan kali ini, kita akan mengenal metode substitusi pada integral tak tentu. Metode substitusi merupakan metode penyelesaian integral dengan mengubah bentuk fungsi menjadi lebih sederhana dalam bentuk variabel tertentu yang saling berhubungan dan ditandai dengan adanya pemisalan. Metode substitusi digunakan karena tidak semua fungsi dapat diintegralkan dengan rumus dasar atau metode anti turunan sesuai dengan defenisinya.

Substitusi: Menjalankan Aturan Rantai Mundur

jika u adalah fungsi yang dapat terdefinisikan dari x, dan n adalah angka yang berbeda dari -1, maka aturan rantai mengatakan bahwa

$\frac{d}{d x} (\frac{u^{n + 1}}{n + 1}) = u^{n} \frac{d u}{d x}$ $\frac d{dx}\left(\frac{u^{n+1}}{n+1}\right)=u^n\frac{du}{dx}$

Dari sudut pandang lain, persamaan yang sama ini mengatakan bahwa $\frac{u^{n + 1}}{(n + 1)}$ $u^{n+1}/\left((n+1)\right)$ adalah salah satu antiturunan dari fungsi $u^{n}$ $u^n$ (du/dx). Oleh karena itu diperoleh

$\int u^{n} \frac{d u}{d x} d x = \frac{u^{n + 1}}{n + 1} + C$ $\int u^n\frac{du}{dx}dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}\+\C$

Integral dalam Persamaan (1) sama dengan integral yang lebih sederhana

$\int u^{n} d u = \frac{u^{n + 1}}{n + 1} + C$ $\int\u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C$

yang menunjukkan bahwa ekspresi du yang lebih sederhana dapat disubtitusi untuk (du/dx) dx ketika menghitung integral. Leibniz, salah satu penemu kalkulus, memandang bahwa substitusi ini memang dapat dilakukan, yang mengarah ke metode substitusi untuk menghitung integral. Seperti halnya diferensial, ketika menghitung integral yang kita miliki

$d u = \frac{d u}{d x} d x$ $du=\frac{du}{dx}dx$

Contoh soal

1. Carilah integral dari $\int 2 x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$ $\int 2x\left(x^2+1\right)^3dx$

Misal

$U = x^{2} + 1$ $U=x^2+1$

$d u = 2 x d x$ $du=2xdx$

Kemudian subtitusikan ke soal menjadi

$\int u^{3} d u = \frac{1}{4} u^{4} + c$ $\int u^3\du=\frac1\4\u^4+c$

Lalu ganti pemisalan U ke hasil integral menjadi

$\frac{1}{4} {(x^{2} + 1)}^{4} + c$ $\frac1\4left(x^2+1\right)^4+c$

2. Carilah integral dari $\int {(x^{3} + x)}^{5} (3 x^{2} + 1) d x$ $\int\left(x^3+x\right)^5\left(3x^2+1\right)dx$

Misal

$u = x^{3} + x$ $u=x^3+x$ kemudian

$d u = \frac{d u}{d x} d x = (3 x^{2} + 1) d x$ $du=\frac{du}{dx}dx=\left(3x^2+1\right)dx$

Kemudian substitusikan ke soal menjadi

$\int {(x^{3} + x)}^{5} (3 x^{2} + 1) d x = \int u^{5} d u$ $\int\left(x^3+x\right)^5\left(3x^2+1\right)dx=\int u^5du$

$= \frac{u^{6}}{6} + C$ $=\frac{u^6}6+C$

$= \frac{{(x^{3} + x)}^{6}}{6} + C$ $=\frac{\left(x^3+x\right)^6}6+C$

3. Kadang-kadang kita mengamati bahwa pangkat $x$ $x$ pada integran setingkat lebih kecil dari pangkat $x$ $x$ yang muncul dalam argumen fungsi yang ingin kita integrasikan. Dari pengamatan ini dengan segera menyarankan kita mencoba substitusi menggunakan pangkat yang lebih tinggi dari x . Misalnya, dalam integral di bawah ini kita melihat bahwa $x^{3}$ $x^3$ muncul sebagai eksponen dari satu faktor,

$\int x^{2} e^{x^{3}} d x = \int e^{x^{3}} \times x^{2} d x$ $\int x^2e^{x^3}dx=\int e^{x^3}\times x^2dx$

$= \int e^{u} \times \frac{1}{3} d u$ $=\int e^u\times\frac1\3du$

$= \frac{1}{3} \int e^{u} d u$ $=\frac1\3\int e^udu$

$= \frac{1}{3} e^{u} + C$ $=\frac1\3e^u+C$

$= \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ $=\frac1\3e^{x^3}+C$

Itu mungkin terjadi bahwa faktor tambahan x muncul di integran ketika kita mencoba substitusi u = g(x). Dalam hal ini, persamaan u = g(x) kemungkinan dapat diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari u. Mengganti faktor tambahan x dengan ekspresi itu kemudian dapat menghasilkan integral yang dapat kita evaluasi.

ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.