Integral Tak-Tentu Metode Parsial

 DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE.

Setelah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri pada materi sebelumnya, Untuk teknik integral selanjutnya kita akan membahas Teknik Integral Parsial yang secara langsung melibatkan bentuk "turunan" dan "integral". Teknik Integral Parsial ini kita gunakan jika "teknik integral substitusi aljabar" secara langsung tidak berhasil untuk menyelesaikan soal integralnya.

Aturan Integral Parsial

Adapun aturan integral parsial yaitu : `\int udv = uv - \int vdu`

Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi u dan bagian lain (fungsi yang mengandung dx) adalah dv. Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial.

Strategi Pemilihan fungsi u dan bentuk dv :
Untuk memudahkan dalam menggunakan integral parsial ini, kita pilih fungsi u yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk dv yang mudah kita integralkan.

Contoh soal integral parsial :

1). Tentukan hasil dari integral `\int x\sqrt{x+2} dx`.
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu `\sqrt{x+2}`.
kita pilih `u=x` , karena jika kita turunkan akan menuju nol hasilnya.
beda dengan fungsi `\sqrt{x+2}`, jika diturnkan tidak akan menuju nol.
Sehingga sisanya adalah `\sqrt{x+2}dx`. .
*). Melengkapi rumus integral parsialnya :
`u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx`

`dv = \sqrt{x+2} dx` , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan v :
Berdasarkan rumus : 
`\int k(ax+b)^n dx =  \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1}  +  c`

`dv  = \sqrt{x+2} dx \rightarrow \int dv & = \int \sqrt{x+2} dx` 

`v = \int \sqrt{x+2} dx`

`= \int (x+2)^\frac{1}{2}  dx`

`= \frac{1}{\frac{1}{2} + 1}  (x+2)^{\frac{1}{2} + 1}`

`= \frac{1}{\frac{3}{2} }  (x+2)^{\frac{3}{2} }`

`= \frac{2}{3}  (x+2)^{\frac{3}{2} }`

*). Menentukan hasilnya :

`\int udv & = uv - \int vdu`

`\int udv & =  x. \frac{2}{3}  (x+2)^{\frac{3}{2} }  - \int \frac{2}{3}  (x+2)^{\frac{3}{2} }  dx`

`=\frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3}{2} }-\frac{2}{3}  \int  (x+2)^{\frac{3}{2} }  dx`

`=\frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3}{2} }-\frac{2}{3}.\frac{1}{\frac{3}{2}+1}(x+2)^{\frac{3}{2} + 1} +c`

`=\frac{2}{3} x(x+2)^{\frac{3}{2} }  - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{5}{2} }(x+2)^{\frac{5}{2}}+c`

`= \frac{2}{3}x  (x+2)^{\frac{3}{2} }-\frac{2}{3} . \frac{2}{5}   (x+2)^{\frac{5}{2}}+c`

`=\frac{2}{3}x  (x+2)^{\frac{3}{2} }-\frac{4}{15}   (x+2)^{\frac{5}{2}}+c`

Jadi, hasilnya `\int x\sqrt{x+2}dx=\frac{2}{3}x (x+2)^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{15}(x+2)^{\frac{5}{2}  }+c`

2). Hasil dari integral `\int x^2\cos2xdx` adalah ?
Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu `x^2` dan cos2x kita pilih u `= x^2` karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :

`u = x^2\rightarrow \frac{du}{dx}=2x\rightarrow du = 2xdx`

`dv =\cos 2x dx` , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan v :

`dv= \cos 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \cos 2x dx`

`v= \frac{1}{2} \sin 2x` 

*). Menentukan hasilnya :

`\int udv & = uv - \int vdu`

`\int udv=x^2.\frac12\sin2x-\int\frac12\sin2x.2xdx`

`\int udv & =   \frac{1}{2} x^2 \sin 2x   - \int x \sin 2x dx`

*). Bentuk `\int x\sin2xdx` kita parsialkan lagi.

*). Ada dua fungsi yaitu x dan `sin2x`,
Kita pilih u=x karena turunannya menuju nol.

*). Melengkapi rumusnya :

`u = x  \rightarrow \frac{du}{dx} =1\rightarrow du=dx`

`dv = \sin 2x dx` , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan v :

`dv  = \sin 2x dx \rightarrow \int dv & = \int \sin 2x dx`

`v = -\frac{1}{2} \cos 2x`

*). Menentukan hasilnya : `\int x\sin2xdx`

`\int x \sin 2x dx  & = uv - \int vdu`

`=  -\frac{1}{2}x \cos 2x   + \int (\frac{1}{2} \cos 2x  )  dx`

`=  -\frac{1}{2}x \cos 2x   +   \frac{1}{2} . \frac{1}{2}  \sin 2x`

`=  -\frac{1}{2}x \cos 2x   +     \frac{1}{4}  \sin 2x`  

Artinya hasil : `\int x \sin 2x dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x`

*). Kita substitusikan ke pers (i) :

`\int udv= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x  - \int x \sin 2x dx`

`= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x  - (-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x )`

`= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x  - \frac{1}{4}  \sin 2x  + c`

`= ( \frac{1}{2} x^2 -  \frac{1}{4} )  \sin 2x   + \frac{1}{2}x \cos 2x + c` 

Jadi, hasilnya `\int x^2\cos2xdx=(\frac1 2x^2-\frac1 4)\sin2x+\frac1 2x\cos2x+c`

Untuk soal nomor (2) ini agak lebih panjang pengerjaannya karena kita melakukan integral parsial sebanyak dua kali. Ada cara lain yang lebih mudah untuk menyelesaikan integral parsial berkali-kali yaitu teknik integral parsial yang dikembangkan oleh Tanjalin sehingga kita sebut sebagai teknik Tanjalin dengan cara salah satu fungsi diturunkan sampai nol , kemudian fungsi lain diintegralkan dan selanjutkan dikalikan antara turunan dan integralnya.

Aturan Integral Parsial Tanjalin

Misalkan ada bentuk integral `\int f(x) . g(x) dx` , maka pengerjaan dengan teknik Tanjalin yaitu :

`\text{Turunan}\|  \text{Integral}`

`(+)f(x)|g(x)`

`(-)f^\prime (x) | \int g(x) dx = g_1 (x)`

`(+)f^{\prime \prime }  (x)|\int g_1(x) dx = g_2 (x)`

`(-)f^{\prime\prime\prime} (x) |  \int g_2(x) dx = g_3 (x)`

`(+)0  | \int g_3(x) dx = g_4 (x)`

Keterangan :
*). Fungsi yang diturunkan adalah fungsi yang menuju nol jika terus diturunkan.
*). Integral berhenti ketika turunan fungsi sebelah kirinya sudah nol.
*). Tanda sebelah kiri turunan harus ada dengan bertanda selang-seling dimulai dari positif (+).
*). Cara mengalikan : Dari turunan ke integral "turun satu baris"
Baris pertama pada turunan `(f(x))` dikalikan dengan baris kedua pada integral `(g_1(x))` ,
Baris kedua pada turunan `(f^\prime (x))` dikalikan dengan baris ketiga pada integral `(g_2(x))` ,
Baris ketiga pada turunan `(f^{\prime \prime } (x))` dikalikan dengan baris keempat pada integral `(g_3(x))` ,
begitu seterusnya, dan nol (0) tidak perlu dikalikan.

Sehingga hasil integralnya :

`\int f(x) . g(x) dx  & = +f(x) \times  g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times  g_2 (x) +`

`(+f^{\prime\prime }  (x)) \times  g_3 (x) +(- f^{\prime \prime\prime}) \times  g_4(x)  + c`

`\int f(x) . g(x) dx  & = f(x)   g_1(x) - f^\prime (x) g_2 (x) + \ &  f^{\prime\prime}  (x)  g_3 (x) - f^{\prime\prime\prime }  g_4(x)  + c`  

Contoh soal :

3). Kita akan selesaikan soal nomor (1) dan nomor (2) di atas dengan cara Tanjalin :
*). soal nomor (1) : `\int x\sqrt{x+2} dx`

`\text{Turunan} & | \text{Integral}`

`(+)|\sqrt{x+2} = (x+2)^\frac{1}{2}`

`(-)1|  \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2}`

`(+)  0  |  \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2}`

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"

`\int x\sqrt{x+2} dx  &  =  (+x) \times \frac{2}{3} (x+2)^\frac{3}{2} + (-1) \times  \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c`

`=\frac{2}{3} x (x+2)^\frac{3}{2} -  \frac{4}{15} (x+2)^\frac{5}{2} + c`  

*). Soal nomor (2) : `\int x^2 \cos 2x dx`

`\text{Turunan}  | \text{Integral}`

`(+) x^2  | \cos 2x`

`(-) 2x  |  \frac{1}{2} \sin 2x`

`(+) 2 |  \frac{1}{2}. (-\frac{1}{2} \cos 2x ) = - \frac{1}{4} \cos 2x`

`(-)  0 |  -\frac{1}{4} . \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{8} \sin 2x`

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"

`\int x^2 \cos 2x dx  &  =  (+x^2) \times \frac{1}{2} \sin 2x  + (-2x) \times  - \frac{1}{4} \cos 2x + (+2) \times  -\frac{1}{8} \sin 2x  + c`

`= \frac{1}{2} x^2 \sin 2x  +  \frac{1}{2} x \cos 2x  -\frac{1}{4} \sin 2x  + c`

`= ( \frac{1}{2} x^2  - \frac{1}{4} ) \sin 2x  +  \frac{1}{2} x \cos 2x + c`

Hasilnya ternyata sama dengan jawaban sebelumnya di atas hanya dengan teknik integral parsial biasa.

4). Tentukan integral dari `\int 2x^3 \cos x^2 dx`

Penyelesaian :

*). Untuk soal ini, kita tidak bisa langsung menggunakan teknik parsial karena kita akan kesulitan untuk menentukan hasil integral dari fungsi `\cos x^2`.
*). Kita gunakan teknik substitusi aljabar terlebih dahulu agar sudut dari `\cos x^2` menjadi pangkat satu dengan memisalkan `u = x^2`.
*). Teknik substitusi aljabar :

`\int 2x^3 \cos x^2 dx  & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{u^\prime}`

`= \int 2x^3 \cos u \frac{du}{2x \text{(sederhanakan)}`

`= \int  x^2 \cos u du \text{(ganti } x^2 = u)`

`= \int  u \cos u du` 

*). Bentuk `\int  u \cos u du` inilah yang kita parsialkan.
Teknik tanjalin :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :

Turunan | Integral

`(+) u  |  \cos u`

`(-) 1 |  \sin u`

`(+) 0 |  -\cos u`

*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"

`\int  u \cos u du & =  (+u) \times \sin u + (-1) \times (-\cos u) + c`

`=  u   \sin u + \cos u  + c \text{(kembalikan bentuk }u)`

`=  x^2   \sin x^2 + \cos x^2  + c`   

Jadi, hasilnya : `\int2x^3\cos x^2dx=x^2\sin x^2+\cos x^2+c`

source : blogkoma dan blogmatika

ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.

Subscribe to receive free email updates: