Integral Fungsi Rasional Linear

DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE.

Setelaah membahas integral tak tentu metode parsial pada materi sebelumnya, kini kita akan membahas mengenai integral fungsi rasional. Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk $F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ , dimana $f(x), g(x)$ adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan $g(x) \ 0$ . Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan $f(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+$ $a_{3} x^{3}+a_{n} x^{n}, n=1,2,3, \ldots$ , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$ yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

$F(x)=\frac{1-x}{x^{2}-3 x+2}$ (Fungsi Rasional Sejati)

$F(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4 x+4}$ (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

$F(x)=\frac{x^{5}-2 x^{3}-x+1}{x^{3}+5 x}$ (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

$F(x) & =\frac{x^{5}-2 x^{3}-x+1}{x^{3}+5 x}$

$=x^{2}-3+\frac{(14 x+1)}{x^{3}+5 x}$

$F(x) & =\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \0$

1). Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2). Faktorkan penyebut $g(x)$ dari fungsi rasional $F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ sampai tidak dapat difaktorkan lagi. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, $g(x)$ dapat berupa kombinasi antara:

fungsi linear berbeda, $g(x)=(x-a)(x-b) \ldots .(x-t)$ dstnya.
fungsi linear berulang, $g(x)=(x-a)^{n}$ $=(x-a)(x-a)(x-a) \ldots(x-a)$
fungsi linear dan kuadrat, $g(x)=(x-a)(a x 2+b x+c)$
fungsi kuadrat berbeda, $g(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right)\left(p x^{2}+q x+c\right)$
fungsi kuadrat berulang, $g(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right)^{n}$ dan seterusnya.

3). Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{\left(a x_{1}+b_{1}\right)}+\frac{A_{2}}{\left(a x_{2}+b_{2}\right)}+\ldots$ (Penyebut kombinasi linear berbeda)

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{(a x+b)}+\frac{A_{2}}{(a x+b)^{2}}+\frac{A_{3}}{(a x+b)^{3}}+\ldots \text { (kombinasi linear berulang) }$

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1} x+B_{1}}{\left(a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}\right)}+\frac{A_{2} x+B_{2}}{\left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}\right)}+\ldots \text { (kombinasi kuadrat berbeda) }$

Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2, … An dan B1, B2, …Bn.

Contoh

Tentukan $\int \frac{2}{x^{2}-1} d x$

Karena integran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

$\int \frac{2}{x^{2}-1} d x =\int \frac{2}{(x-1)(x+1)} d x$

$=\int \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)} d x$

$=\int \frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)} d x$

$=\int \frac{(A+B) x+(A-B)}{(x-1)(x+1)} d x$

Diperoleh $A+B=0, A-B=2$ atau $A=1, B=-1$ sehingga:

$\int \frac{2}{x^{2}-1} d x & =\int \frac{1}{(x-1)}+\frac{-1}{(x+1)} d x$

$=\int \frac{1}{(x-1)} d x-\int \frac{1}{(x+1)} d x$

$=\ln |x-1|-\ln |x+1|+C$

$=\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$

$\int \frac{x+1}{x-1} d x$ integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

$\int \frac{x+1}{x-1} d x & =\int 1+\frac{2}{x-1}$

$=\int d x+\int \frac{2}{x-1}$

$=x+\ln |x-1|^{2}+C$

Adapun integran berbentuk fungsi rasional yaitu : $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ , P(x) dan Q(x) adalah suku banyak atau dapat dituliskan menjadi : $f(x)=\frac{a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots+a_{n}}{b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\ldots+b_{m}}$

Jika pangkat P(x)>pangkat Q(x) atau n>m, maka dilakukan pembagian terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk : $\int f(x)dx=\int\left[R(x)+\frac{h(x)}{g(x)}\right]dx$ dengan R(x) merupakan hasil bagi P(x) oleh Q(x) dan $\frac{h(x)}{g(x)}$ adalah sisa pembagian dengan pangkat h(x)< pangkat g(x).

Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) atau n<m, maka penyelesaian integral tersebut bergantung pada faktor-faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real.

Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :

Faktor linear dan tidak berulang.
Faktor linear dan berulang.
Faktor kuadratik dan tidak berulang.
Fator kuadratik dan berulang.

KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang

Misal $Q(x)=\left(a_{1} x+b_{1}\right)\left(a_{2} x+b_{2}\right) \ldots\left(a_{n} x+b_{n}\right)$ .

Maka $\frac{P(x)}{Q(x)} \equiv \frac{A_{1}}{a_{1} x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{a_{2} x+b_{2}}+\ldots+\frac{A_{n}}{a_{n} x+b_{n}}$

dengan A1,A2,...,An konstanta yang akan dicari.

Contoh:

$\int \frac{1}{4 x^{2}-9} d x$

$\frac{1}{4 x^{2}-9} \equiv \frac{A}{(2 x+3)}+\frac{B}{(2 x-3)}$

$\Leftrightarrow 1 \equiv A(2 x-3)+B(2 x+3) \Leftrightarrow 1 \equiv(2 A+2 B) x+(-3 A+3 B)$ $2 A+2 B=0$ dan $-3 A+3 B=1$ sehingga diperoleh $A=-\frac{1}{6}$ dan $B=\frac{1}{6}$

$\int \frac{1}{4 x^{2}-9} d x=\int \frac{-1 / 6}{(2 x+3)} d x+\int \frac{1 / 6}{(2 x-3)} d x$

KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang

$\text { Misal } Q(x)=\left(a_{i} x+b_{i}\right)^{p} \text { dengan } p \in \B^{+}$

Maka $\frac{P(x)}{Q(x)} \equiv \frac{A_{1}}{\left(a_{i} x+b_{i}\right)^{p}}+\frac{A_{2}}{\left(a_{i} x+b_{i}\right)^{p-1}}+\ldots+\frac{A_{p-1}}{\left(a_{i} x+b_{i}\right)^{2}}+\frac{A_{p}}{\left(a_{i} x+b_{i}\right)}$

dengan $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{p-1}, A_{p} \quad$ konstanta yang akan dicari.

Contoh:

$\int \frac{1}{(x+2)^{2}(x-1)} d x$

$\frac{1}{(x+2)^{2}(x-1)} \equiv \frac{A}{(x+2)^{2}}+\frac{B}{(x+2)}+\frac{C}{(x-1)}$

$\Leftrightarrow 1 \equiv A(x-1)+B(x+2)(x-1)+C(x+2)^{2}$

diperoleh $A=-\frac{1}{3}, B=-\frac{1}{9}$ dan $C=\frac{1}{9}$

$\int \frac{1}{(x+2)^{2}(x-1)} d x=\int \frac{-1 / 3}{(x+2)^{2}} d x+\int \frac{-1 / 9}{(x+2)} d x+\int \frac{1 / 9}{(x-1)} d x$

KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang

Misal $Q(x)=\left(a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}\right)\left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}\right) \ldots\left(a_{n} x^{2}+b_{n} x+c_{n}\right)$

Maka $\frac{P(x)}{Q(x)} \equiv \frac{A_{1} x+B_{1}}{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}+\frac{A_{2} x+B_{2}}{a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}}+\ldots+\frac{A_{n} x+B_{n}}{a_{n} x^{2}+b_{n} x+c_{n}}$

dengan $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ , dan $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}$ konstanta yang akan dicari.

Contoh:

$\int \frac{6 x^{2}-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x$

$\frac{6 x^{2}-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} \equiv \frac{A}{(4 x+1)}+\frac{B x+C}{\left(x^{2}+1\right)}$

$\Leftrightarrow 6 x^{2}-3 x+1 \equiv A\left(x^{2}+1\right)+(B x+C)(4 x+1)$

diperoleh $A=2, B=1$ dan $C=-1$

$\int \frac{6 x^{2}-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x=\int \frac{2}{(4 x+1)} d x+\int \frac{x-1}{\left|x^{2}+1\|} d x$

KASUS 4 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat berulang .

Misal $Q(x)=\left|a_{i} x^{2}+b_{i} x+c_{i}\r|^{p}$ . Maka :

$\frac{P(x)}{Q(x)} \equiv \frac{A_{1} x+B_{1}}{\left(a_{i} x^{2}+b_{i} x+c_{i}\)^{p}}+\frac{A_{2} x+B_{2}}{\left(a_{i} x^{2}+b_{i} x+c_{i}\)^{p-1}}+\ldots+\frac{A_{p-1} x+B_{p-1}}{\left(a_{i} x^{2}+b_{i} x+\left.c_{i}\|^{2}\}+\frac{A_{p} x+B_{p}}{\left|a_{i} x^{2}+b_{i} x+c_{i}\|}$ dengan $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{p-1}, A_{p}$ dan $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{p-1}, B_{p} \quad$ konstanta yang akan dicari.

Contoh

$\int \frac{6 x^{2}-15 x+22}{(x+3)\left(x^{2}+2\right)^{2}} d x$

$\frac{6 x^{2}-15 x+22}{(x+3)\left(x^{2}+2\right)^{2}} \equiv \frac{A}{(x+3)}+\frac{B x+C}{\left(x^{2}+2\}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+2)^{2}}$

$\left.\Leftrightarrow 6 x^{2}-15 x+22 \equiv A\left(x^{2}+2\)^{2}+(B x+C)(x+3) \ x^{2}+2\)+(D x+E)(x+3)$

$\text { diperoleh } A=1, B=-1, C=3, D=-5 \text { dan } E=0$

$\int \frac{6 x^{2}-15 x+22}{(x+3)\left(x^{2}+2\right)^{2}} d x=\int \frac{1}{(x+3)} d x-\int \frac{x-3}{\left(x^{2}+2\} d x-5 \int \frac{x}{\left(x^{2}+2)^{2}} d x$ .

ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.