Integral Substitusi Trigonometri

 

DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE.

    Kesulitan dalam integral sering dijumpai dimana fungsi yang akan diintegrasikan (integrant) berbentuk akar. Kehadiran bentuk akar ini sering menyulitkan penyelesaian integral. Namun, jika kita menggunakan teknik integral yang tepat, kita dapat dengan cepat dan mudah menjawab soal integral di mana integral adalah bentuk akarnya.

    Pendekatan integral substitusi trigonometri adalah metode integral yang akan dibahas. Akar integral dapat dirasionalkan dan, sebagai hasilnya, mudah diintegrasikan dengan substitusi trigonometri yang sesuai.

`\sqrt{(a^2-x^2)}`, `\sqrt{(a^2+x^2)}`, dan `\sqrt{(x^2-a^2)}`

    Apabila kita menjumpai integran yang fungsinya mengandung ketiga bentuk akar di atas, maka teknik integral substitusi trigonometri dapat diterapkan. Untuk merasionalkan bentuk akar-akar tersebut kita gunakan substitusi berikut:

`\sqrt{(a^2-x^2)}` `rightarrow``x=asin t` `rightarrow``-\pi/2\leq\ t\leq\pi/2`

`\sqrt{(a^2+x^2)}` `rightarrow``x=atan t` `rightarrow``-\pi/2\leq\ t\leq\pi/2`

 `\sqrt{(x^2-a^2)}` `rightarrow``x=asex t` `rightarrow``0\leq\t\leq\pi,\t\neq\pi/2`

Dari substitusi tersebut, kita peroleh hasil berikut

`\sqrt{(a^2-x^2)}=\sqrt{(a^2-a^2\sin^2 t)}=\sqrt{(a^2 cos^2 t)}=|acos t|=acos t`

`\sqrt{(a^2+x^2)}=\sqrt{(a^2+a^2\tan^2 t)}=\sqrt{(a^2 sec^2 t)}=|asec t|=asec t`

`\sqrt{(x^2-a^2)}=\sqrt{(a^2 sec^2\t-a^2)}=\sqrt{(a^2 tan^2 t)}=|atan t|=\pm atan t`

    Perhatikan bahwa pembatasan pada t memungkinkan kita untuk menghilangkan tanda nilai absolut pada dua kasus pertama. Selain itu, pembatasan ini juga membuat fungsi sin, tan, dan sec menjadi dapat diinverskan.

Untuk memahami materi kali ini maka perhatikanlah contoh soal berikut:

contoh 1

Carilah `int \sqrt{a^2 - x^2}\dx`

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal ini kita gunakan substitusi berikut:

`x=asin t` `rightarrow``-\pi/2\leq\ t\leq\pi/2`

sehingga kita peroleh `dx=acos t dt` dan `\sqrt{(a^2-x^2)}=\a cos t`. Dengan demikian :

`\int \sqrt{a^2-x^2} d x & =\int a \cos t \cdot a \cos t d t=a^2 \int \cos ^2 t d t`

`=\frac{a^2}{2} \int(1+\cos 2 t) d t`

`=\frac{a^2}{2}\left(t+\frac{1}{2} \sin 2 t)+C`

`=\frac{a^2}{2}(t+\sin t \cos t)+C`

Oleh karena `x=asin t` ekivalen dengan `x/a=sint` dan oleh karena selang t kita batasi sehingga sinus memiliki invers, maka:

`t=\sin^-1\(x/a)`

Dan dengan sebuah kesamaan yang telah kita pelajari mengenai fungsi trigonometri, kita peroleh:

`\cos t=\cos \left[\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-x^2}`

Ini dapat pula dilihat pada Gambar 1 di bawah ini.

contoh 2 

Selesaikan `int \sqrt{a^2 - x^2}\dx`

Dengan memisalkan `x=asect` kita peroleh hasil berikut:

`x = a \sec t \Leftrightarrow \sec t = \frac{x}{a}`

`\frac{dx}{dt} =a\sect\tan t \Leftrightarrow dx = a \sec t \tan t \ dt`

`\sqrt{x^2 - a^2} = a \tan t`

Selanjutnya, kita akan gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral pada soal kita, yakni:

`\int \sqrt{x^2 - a^2} \ dx`

`= \int a \tan t \cdot a \sec t \tan t \ dt = a^2 \int \sec t \tan^2 t \ dt`

`= a^2 \int \sec t \ (\sec^2 t - 1) \ dt = a^2 \left( \int \sec^3 t \ dt - \int \sec t \ dt)`

 `= a^2 \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln |\sec t + \tan t| - \ln |\sec t + \tan t|)`

`= a^2 \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t - \frac{1}{2} \ln |\sec t + \tan t| \)` 

 `= \frac{a^2}{2} \sec t \tan t - \frac{a^2}{2} \ln |\sec t + \tan t|`

`=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{x}{a}\cdot\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}-\frac{a^2}{2}\ln|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a} | + C`

`= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \ln \left|\frac{x + \sqrt{x^2-a^2}}{a} | + C`

`= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \left( \ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| - \ln|a|) + C`

`= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2-a^2} | + \frac{a^2}{2} \ln|a| + C`

`= \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \ln |x + \sqrt{x^2-a^2} | + K`

`= \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2-a^2} - a^2 \ln |x + \sqrt{x^2-a^2} | ) + K`

Jadi, hasil dari `int \sqrt{x^2 - a^2}\dx` adalah :

`= \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2-a^2} - a^2 \ln |x + \sqrt{x^2-a^2} | ) + K`

keterangan : 

Untuk mencari nilai `tan t`, kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga siku-siku yang lain menggunakan Rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:

contoh 3

Selesaikan `int\sqrt{a^2 + x^2}dx`

Pembahasan:

Dengan memisalkan `x=atan t`  kita peroleh hasil berikut:

                  `x=a\tan t \Leftrightarrow \tan t = \frac{x}{a}`

           `frac{dx}{dt} &= a \sec^2 t \Leftrightarrow dx = a \sec^2 t \ dt`

`sqrt{a^2 + x^2} &= a \sec t`

Selanjutnya, kita akan gunakan informasi di atas untuk menyelesaikan integral pada soal kita, yakni:

`\int \sqrt{a^2 + x^2} \ dx`

`= \int a \sec t \cdot a \sec^2 t \ dt = a^2 \int \sec^3 t \ dt`

`= a^2 \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t|)`

`= \frac{a^2}{2} \sec t \tan t + \frac{a^2}{2} \ln|\sec t + \tan t|`

`= \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} \cdot \frac{x}{a} + \frac{a^2}{2} \ln |\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} + \frac{x}{a}| + C`

`= \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln |\frac{x + \sqrt{a^2 + x^2}}{a}| + C`

`= \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{a^2 + x^2} | - \frac{a^2}{2} \ln |a| + C`

`= \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{a^2 + x^2}| + K`

`= \frac{1}{2} \left( \sqrt{a^2 + x^2} + a^2 \ln |x + \sqrt{a^2 + x^2}| ) + K`

Jadi, hasil dari `\int \sqrt{a^2 + x^2} \ dx` adalah:

`= \frac{1}{2} \left( \sqrt{a^2 + x^2} + a^2 \ln |x + \sqrt{a^2 + x^2}| ) + K`

Untuk mencari nilai `sec t` , kita bisa gambarkan segitiga siku-siku berdasarkan pemisalan yang kita buat di awal tadi. Selanjutnya kita cari sisi lain dari segitiga siku-siku yang lain menggunakan Rumus Phytagoras. Berikut hasil yang kita peroleh:

contoh 4

Carilah `\int \frac{d x}{\sqrt{9+x^2}`

Misalkan `x=3tan t,−π/2<t<π/2, maka dx=3sec 2t dt dan` sqrt{9+x^2}=\3sec t`

`\int \frac{d x}{\sqrt{9+x^2}} & =\int \frac{3 \sec ^2 t}{3 \sec t} d t=\int \sec t d t`

`=\ln |\sec t+\tan t|+C`

Langkah terakhir adalah menyelesaikan integral sect. Karena kita memisalkan x=3tant, maka sekarang tant=x/3, yang memberikan sebuah segitiga seperti terlihat pada Gambar 3. Dari Gambar 3, kita menyimpulkan bahwa sec t `=\sqrt{9+x^2}=3`, dengan demikian :

`\int \frac{d x}{\sqrt{9+x^2}} & =\ln \left|\frac{\sqrt{9+x^2}+x}{3}|+C`

`=\ln \left|\sqrt{9+x^2}+x|-\ln 3+C`

`=\ln \left|\sqrt{9+x^2}+x t|+K`

contoh 5

Melengkapkan Menjadi kuadrat

Apabila sebuah bentuk kuadrat `x2+Bx+C`muncul di bawah akar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadi kuadrat sebelum kita menggunakan substitusi trigonometri. Simak contoh berikut ini.

Carilah (a) `\int \frac{d x}{\sqrt{x^2+2 x+26}}`  dan (b) `\int \frac{2 x}{\sqrt{x^2+2 x+26}} dx`

Penyelesaian: `x2+2x+26=x2+2x+1+25=(x+1)2+25` . Misalkan `u=x+1` dan `du=dx` , maka

`\int \frac{d x}{\sqrt{x^2+2 x+26}}=\int \frac{d u}{\sqrt{u^2+25}}`

Selanjutnya misalkan `u=5tant,−π/2<t<π/2`, maka `du=5sec2t dt` dan `\sqrt{μ^2+25}=\sqrt{25(\tan^2⁡t+1)} = 5 \sec{⁡t}`, sehingga

`\int \frac{d u}{\sqrt{u^2+25}} & =\int \frac{5 \sec ^2 t d t}{5 \sec t}=\int \sec t d t`

`=\ln |\sec t+\tan t|+C`

`=\ln \left|\frac{\sqrt{u^2+25}}{5}+\frac{u}{5}\|+C`

`=\ln \left|\sqrt{u^2+25}+u|-\ln 5+C`

`=\ln \left|\sqrt{x^2+2 x+26}+x+1|+K`

Untuk mengatasi integral kedua, kita tuliskan

`\int \frac{2 x}{\sqrt{x^2+2 x+26}} d x=\int \frac{2 x+2}{\sqrt{x^2+2 x+26}} d x-2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2 x+26}} d x`

Integral yang pertama pada ruas kanan diselesaikan dengan substitusi `u=x2+2x+26`; sedangkan integral yang kedua barus saja kita selesaikan. Kita peroleh,

`\int \frac{2 x}{\sqrt{x^2+2 x+26}} d x= \ 2 \sqrt{x^2+2 x+26}-2 \ln \sqrt{x^2+2 x+26}+x+1|+K`

contoh 6

Integran yang Memuat `sqrt[n]{ax+b}`

Selain ketiga bentuk akar yang telah kita bahas di atas, bentuk akar di dalam integran yang sering kita jumpai yaitu `sqrt[n]{ax+b}`. Untuk merasionalkan bentuk akar ini kita tidak perlu menggunakan substitusi trigonometri. Cukup dengan substitusi `sqrt[n]{ax+b}`maka bentuk akar dalam integran dapat dirasionalkan.

Perhatikan contoh di bawah ini.

Carilah `int \frac{d x}{x-\sqrt{x}}`

Penyelesaian:

Misalkan u=√x, maka u2=x dan 2u du=dx. Dengan demikian, kita peroleh

`int \frac{d x}{x-\sqrt{x}} & =\int \frac{2 u}{u^2-u} d u=2 \int \frac{1}{u-1} d u \ =2 \ln |u-1|+C=2 \ln |\sqrt{x}-1|+C`

 

source : 

Purcell, Edwin J., dan Dale Verberg. (1987). Calculus with Analytic Geometry, ed 5. Terjemahan Susila, I Nyoman, dkk. Kalkulus dan Geometri Analitis. Indonesia: Penerbit Erlangga.

Purcell, Edwin J., Dale Verberg., dan Steve Rigdon. (2007). Calculus, ed 9. Penerbit Pearson.

ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.

Subscribe to receive free email updates: