Integral Fungsi Rasional Faktor Kuadrat

 'DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE'

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL FAKTOR KUADRAT

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{a x+b}+\frac{B x+C}{p x^{2}+q x+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan  A,B, dan C.

Adapun bebrapa kondisi pada faktor kuadrat dalam suatu soal yakni :

Ketika Memiliki Faktor kuadrat tunggal

contoh:

Jabarkan pecahan berikut menjadi jumlah pecahan parsial,

`\frac{6 x^2-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^2+1\right)}`

Kemudian tentukan integralnya.

Penyelesaian:

Kita tulis pecahan tersebut sebagai

`\frac{6 x^2-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{4 x+1}+\frac{B x+C}{x^2+1}`

Untuk menentukan konstanta A, B, dan C kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan `\left(4 x^2+1\right)\left(x^2+1\right)`.

Sehingga kita memperoleh

`6 x^2-3 x+1=A\left(x^2+1\right)+(B x+C)(4 x+1)`

Apabila kita ambil `x=-1 / 4, x=0`, dan `x=1`, kita mendapatkan

`\frac{6}{16}+\frac{3}{4}+1=A\left(\frac{17}{16}\) \quad \Rightarrow \quad A=2`

`1=2+C \quad \Rightarrow \quad C=-1`

`4=4+(B-1) 5 \quad \Rightarrow \quad B=1`

Dengan demikian,

`\int \frac{6 x^2-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^2+1\right)} d x` 

`=\int \frac{2}{4 x+1} d x+\int \frac{x-1}{x^2+1} d x`

`=\frac{1}{2} \int \frac{4 d x}{4 x+1}+\frac{1}{2} \int \frac{2 x d x}{x^2+1}-\int \frac{d x}{x^2+1}`

`=\frac{1}{2} \ln |4 x+1|+\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)-\tan ^{-1} x+C`

Ketika Memiliki Faktor kuadrat berulang

contoh:

Carilah `\int \frac{6 x^2-15 x+22}{(x+3)\left(x^2+2\right)^2} d x`

Penyelesaian:

Untuk faktor kuadrat berulang, penjabarannya yaitu

`\frac{6 x^2-15 x+22}{(x+3)\left(x^2+2\right)^2}=\frac{A}{x+3}+\frac{B x+C}{x^2+2}+\frac{D x+E}{\left(x^2+2\right)^2}`

Setelah kita lakukan perhitungan seperlunya, kita akan memperoleh `A=1, B=-1, C=3, D=-5`, dan `E=0`. Sehingga

`\int \frac{6 x^2-15 x+22}{(x+3)\left(x^2+2\right)^2} d x`

`=\int \frac{d x}{x+3}-\int \frac{x-3}{x^2+2} d x-5 \int \frac{x}{\left(x^2+2\right)^2} d x`

`=\int \frac{d x}{x+3}-\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x^2+2} d x+3 \int \frac{d x}{x^2+2}-\frac{5}{2} \int \frac{2 x d x}{\left(x^2+2\right)^2}`

`=\ln |x+3|-\frac{1}{2} \ln \left(x^2+2\right)+\frac{3}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+\frac{5}{2\left(x^2+2\right)}+C`

Contoh soal 

1). Carilah `int\frac{6 x^{2}-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} dx`

Karena integran fungsi rasional sejati maka

`\int \frac{6 x^{2}-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x=\int \frac{A}{(4 x+1)}+\frac{B x+C}{\left(x^{2}+1\right)} d x`

`=\int \frac{A\left(x^{2}+1\right)+(B x+C)(4 x+1)}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x`

`=\int \frac{(A+4 B) x^{2}+(B+4 C) x+(A+C)}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x`

Diperoleh

`A+4 B=6,(B+4 C)=-3,(A+C)=1` atau `A=2, B=1`, dan `C=-1` sehingga:

`\int \frac{6 x^{2}-3 x+1}{(4 x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x  =\int \frac{2}{(4 x+1)}+\frac{x-1}{\left(x^{2}+1\right)} d x`

`=\int \frac{2}{(4 x+1)} d x+\int \frac{x}{\left(x^{2}-1\right)} d x-\int \frac{1}{\left(x^{2}-1\right)} d x`

`=\frac{2}{4} \ln |4 x+1|+\frac{1}{2} \ln \left|x^{2}+1\|-\arctan \x+C`

2). Carilah `\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3 x^{2}+2} d x`

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

`\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}+2} d x  =\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x`

`=\int \frac{A x+B}{\left(x^{2}+1\right)}+\frac{C x+D}{\left(x^{2}+2\right)} d x`

`=\int \frac{(A x+B)\left(x^{2}+2\right)+(C x+D)\left(x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x`

`=\int \frac{(A+C) x^{3}+(B+D) x^{2}+(2 A+C) x+(2 B+D)}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x`

Diperoleh

`A+C=1, B+D=1,2A+C=1,2B+D=2`atau `A=0`, `B=1`, `C=1`, `D=0` sehingga:

`\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}+2} d x =\int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)}+\frac{x}{\left(x^{2}+2\right)} d x`

`=\int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)} d x+\int \frac{x}{\left(x^{2}+2\right)} d x`

`=\arctan x+\frac{1}{2} \ln \left|x^{2}+2\|+C`

3). Carilah `\int \frac{x^{3}-8 x^{2}-1}{(x+3)(x-2)\left(x^{2}+1\right)} d x`

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda `(x+3)` dan `(x-2)` dengan kuadrat `\left(x^{2}+1\right)`, sehingga

`\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+x^{2}+2} d x`

`=\int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C x+D}{\left(x^{2}+1\right)} d x`

`=\int \frac{A(x-2)\left(x^{2}+1\right)+B(x+1)\left(x^{2}+1\right)+(C x+D)(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-2)\left(x^{2}+1\right)} d x`

`=\int \frac{(A+B+C) x^{3}+(-2 A+3 B+C) x^{2}+(A+B+D-6 C) x+(-2 A+3 B-6 D)}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)} d x` 

Maka diperoleh

`A+B+C=1,-2 A+3 B+C+D=-8, A+B+D-6 C=0,-2 A+3 B-6 D=-1` atau

`A=2, B=-1, C=0, D=-1`

`\int \frac{A}{(x+3)}+\frac{B}{(x-2)}+\frac{C x+D}{\left(x^{2}+1\right)} d x=\int \frac{2}{(x+3)}+\frac{-1}{(x-2)}+\frac{-1}{\left(x^{2}+1\right)} d x`

`=2 \ln |x+3|-\ln |x-2|-\arctan \x+C`

=\ln |x+3|^{2}-\ln |x-2|-\arctan x+C`

`=\ln \left|\frac{(x+3)^{2}}{(x-2)}\|-\arctan x+C`

Jad `\int \frac{x^{3}-8 x^{2}-1}{(x+3)(x-2)\left(x^{2}+1\right)} d x=\ln \left|\frac{(x+3)^{2}}{(x-2)}\|-\arctan x+C`

Integral Fungsi Rasional yang memuat sinus dan cosinus

Bila suatu integran merupakan fungsi rasional yang memuat suku suku dari sin dan cos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu `u=\tan (x / 2)`, `-\pi<x<\pi`. Integran ditransformasikan ke dalam fungsi rasional dari u dan ini dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas.

Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat diperlihatkan seperti di bawah ini.

Dari : `u=\tan` (x / 2)`. Maka :

`\cos \theta \frac{x}{2} \frac{x}{2}=\frac{1}{\sec \theta \frac{x}{2} \theta}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \frac{\theta_{2}}{2} \theta}}=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}`

Jadi : `\sin x=\frac{2 u}{1+u^{2}}`  `cos x=\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}}` dan

`\frac{x}{2}=\tan ^{-1} u \Rightarrow d x=\frac{2}{1+u^{2}} d u`

 

Contoh

`\int \frac{d x}{1+\sin x}=\int \frac{1}{1+\frac{2 u}{1+u^{2}}}=\frac{2}{1+u^{2}} \Rightarrow d u=\int \frac{2}{(1+u)^{2}} d u=\frac{-2}{1+u}+C`

`=\frac{-2}{1+\tan =\frac{x}{2} \theta}+C`

 ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.

Subscribe to receive free email updates: