Notasi Sigma

'DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE'

Notasi sigma atau notasi penjumlahan merupakan salah satu materi matematika dasar yang sangat penting untuk dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari matematika tingkat lanjut seperti kalkulus dan statistika. Bentuk lain yang juga mirip dengan notasi sigma atau notasi penjumlahan adalah notasi perkalian atau biasa disebut notasi product.

$5 \sum i = 1$ $\sum_{i=1}^5$ , artinya i yang merupakan indeks bergerak dari 1 sampai 5. Ganti i dengan angka 1-5 secara berurutan dengan cara menjumlahkannya. karena lambang Σ menunjukan perintah untuk menjumlahkan.

Pengertian Notasi Sigma (Notasi Penjumlahan)

Notasi Sigma yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Lambang notasi sigma merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah.

Tujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang dan rumit yang terdiri dari suku-suku atau deret tertentu. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam menulis penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

Perhatikan jumlah:

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 100^{2}$ $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+100^{2}$

dan

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}$ $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}$

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita tuliskan yang pertama sebagai

$100 \sum i = 1 i^{2}$ $\sum_{i=1}^{100} i^{2}$

dan yang kedua sebagai

$n \sum i = 1 a i$ $\sum_{i=1}^{n} ai$

disini $\sum$ $\sum$ (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S, menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks $i$ terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga,

$5 \sum i = 2 b_{i} = b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5}$ $\sum_{i=2}^{5} b_{i}=b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}$

$n \sum j = 1 \frac{1}{j} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \frac{1}{n}$ $\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \frac{1}{n}$

$4 \sum k = 1$ $\sum_{k=1}^{4}$ $\frac{k}{k^{2} + 1} = \frac{1}{1^{2} + 1} + \frac{2}{2^{2} + 1} + \frac{3}{3^{2} + 1} + \frac{4}{4^{2} + 1}$ $\frac{k}{k^{2}+1}=\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{2}{2^{2}+1}+\frac{3}{3^{2}+1}+\frac{4}{4^{2}+1}$

dan, untuk $n \geq m$ $n \geq m$

$n \sum i = m F (i) = F (m) + F (m + 1) + F (m + 2) + \dots + F (n)$ $\sum_{i=m}^{n} F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+\cdots+F(n)$

Jika semua $c$ $c$ dalam $n \sum i = 1 c_{i}$ $\sum_{i=1}^{n} c_{i}$ mempunyai nilai sama, katakan $c$ $c$ , maka

$n \sum i = 1 c_{i} = c + c + c + \dots + c      n suku = n c$ $\sum_{i=1}^{n} c_{i}=\underbrace{c+c+c+\cdots+c}_{n \text { suku }}=n c$

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

$n \sum i = 1 c_{i} = n c$ $\sum_{i=1}^{n} c_{i}=n c$

Khususnya,

$5 \sum i = 1 2 = 5 (2) = 10$ $\sum_{i=1}^{5} 2=5(2)=10$

$100 \sum i = 1 (- 4) = 100 (- 4) = - 400$ $\sum_{i=1}^{100}(-4)=100(-4)=-400$

$2 \sum j = 0 x^{3} = x^{3} + x^{3} + x^{3}$ $\sum_{j=0}^{2} x^{3}=x^{3}+x^{3}+x^{3}$

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah.

Contoh 1 :

$5 \sum k = 1 2 k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10$ $\sum_{k=1}^{5} 2 k=2+4+6+8+10$

$4 \sum k = 0 (2 k + 2) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10$ $\sum_{k=0}^{4}(2 k+2)=2+4+6+8+10$

$6 \sum k = 2 (2 k - 2) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10$ $\sum_{k=2}^{6}(2 k-2)=2+4+6+8+10$

Sifat-sifat Umum Notasi Sigma

Terdapat banyak sekali contoh kasus, atau model soal notasi sigma yang bisa anda teukan, karena sejatinya untuk menguji pemahaman anda soal matematika selalu dibolak balik. Jika anda paham konsep sebenarnya, maka bagaimanapun bentuk kasusnya akan dengan mudah untuk dikerjakan.

Ada beberapa sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan, agar mempermudah penyelesaian kasus yang anda temui. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. $n \sum i = 1 U_{i} = U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n}$ $\sum_{i=1}^n U_i=\U_1+\U_2+\U_3+\ldots+\U_{n}$

2. $n \sum i = 1 U_{i} = n \sum k = 1 U_{k}$ $\sum_{i=1}^n U_i=\sum_{k=1}^n U_k$

3. $n \sum i = 1 A = A$ $\sum_{i=1}^n A=\A$ , dengan A merupakan suatu konstanta

4. $n \sum i = 1 A U_{i} = A n \sum i = 1 U_{i}$ $\sum_{i=1}^n A U_i=\A \sum_{i=1}^n U_i$ , dengan A merupakan suatu konstanta

5. a. $n \sum i = 1 (U_{i} + V_{i}) = n \sum i = 1 U_{i} + n \sum i = 1 V_{i}$ $\sum_{i=1}^n\left(U_i+V_i\right)=\sum_{i=1}^n U_i+\sum_{i=1}^n V_i$

b. $\sum_{i=1}^n\left(U_i-V_i\right)=\sum_{i=1}^n U_i-\sum_{i=1}^n V_i$

6. a. $\sum_{i=1}^n\left(U_i+V_i\right)^2=\sum_{i=1}^n U_i^2+2 \sum_{i=1}^n U_i V_i+\sum_{i=1}^n V_i^2$

b. $\sum_{i=1}^n\left(U_i-V_i\right)^2=\sum_{i=1}^n U_i^2-2 \sum_{i=1}^n U_i V_i+\sum_{i=1}^n V_i^2$

7. $\sum_{i=1}^m U_i+\sum_{i=m+1}^n U_i=\sum_{i=1}^n U_i$ , dengan ketentuan $\m<n$

8. $\sum_{i=1}^n U_i=\sum_{i=0}^{n-1} U_{i+1}=\sum_{i=2}^{n+1} U_{i-1}$

9. $\sum_{i=k}^k U_i=U_k$ , dengan $\k=1,2,3,4, \ldots, n$

PERUBAHAN INDEKS JUMLAH

Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin menganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut ini diberikan satu contoh illustrasi bahwa hal ini mungkin dilakukan.

Contoh 2 nyatakan $\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}$ dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

Penyelesaian misalkan indeks baru adalah $j$ , maka $j=k-3$

sehingga jika $k=3$ , maka $j=0$ , dan jika $k=7$ , maka $j=4$ . Jadi $j$ bergerak dari $j=0$ sampai $j=4$ . Sehingga,

$\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}=\sum_{j=0}^{4} 5^{(j+3)-2}=\sum_{j=0}^{4} 5^{j+1}$

Pembaca dapat mengecek bahwa $\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}$ dan $\sum_{j=0}^{4} 5^{j+1}$ adalah

$5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+5^{5}$

SIFAT-SIFAT $\sum$ Dianggap sebagai operator, $\sum$ beroperasi pada barisan dan operator itu melakukannya secara linear.

Kelinearan $\sum$ Misalkan $\left(a_{i}\right)$ dan $\left(b_{i}\right)$ menyatakan dua barisan dan $c$ suatu konstanta. Maka:

(i) $\sum_{i=1}^{n} c a_{i}=c \sum_{i=1}^{n} a_{i}$ ;

(ii) $\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=2}^{n} b_{i}$

(iii) $\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}-\sum_{i=2}^{n} b_{i}$ .

Kita akan membuktikan sifat (i) dan (iii), sedangkan (ii) ditinggal untuk pembaca Bukti (i)

Bukti (iii)

$\sum_{i=1}^{n} c a_{i}=c a_{1}+c a_{2}+\cdots+c a_{n}$

$=c\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$

$=c \sum_{i=1}^{n} a_{i}$

$\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)=\left(a_{1}+b_{1}\right)+\left(a_{2}+b_{2}\right)+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right)$

$=a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}+b_{1}+b_{2}+\cdots b_{n}$

$\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}$

Contoh 3 Misalkan $\sum_{i=1}^{100} a_{i}=60$ dan $\sum_{i=1}^{100} 11$ . Hitung $\sum_{i=1}^{100}\left(2 a_{i}-3 b_{i}+4\right)$

Penyelesaian

$\sum_{i=1}^{100}\left(2 a_{i}-3 b_{i}+4\right)=\sum_{i=1}^{100} 2 a_{i}-\sum_{i=1}^{100} 3 b_{i}+\sum_{i=1}^{100} 4$

$=2 \sum_{i=1}^{100} a_{i}-3 \sum_{i=1}^{100} b_{i}+\sum_{i=1}^{100} 4$

$=2(60)-3(11)+100(4)=487$

BEBERAPA JUMLAH KHUSUS

Pada bagian ini, kita akan meninjau jumlah dari $n$ bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke- $n$ yang cukup manis. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:

(a) $\sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

(b) $\sum_{k=1}^{n} k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

(d) $\sum_{k=1}^{n} k^{4}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots+n^{4}=\frac{n(n+1)\left(6 n^{3}+9 n^{2}+n-1\right)}{30}$

Kita akan membuktikan sifat (a) dan (b), sedangkan (c) dan (d) ditinggalkan sebagai latihan bagi pembaca.

Bukti (a).

$\sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n$

dengan mengubah urutan persamaan (1), diperoleh:

$\sum_{k=1}^{n} k=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2+1$

dengan menjumlahkan (1) dan (2), diperoleh:

$2 \sum_{k=1}^{n} k=\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)}_{n \text { suku }}=n(n+1)$

Jadi,

$\sum_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}$

Bukti (b).

$(k+1)^{3}-k^{3}=k^{3}+3 k^{2}+3 k+1-k^{3}=3 k^{2}+3 k+1$

diperoleh bahwa

$\sum_{k=1}^{n}\left[(k+1)^{3}-k^{3}\right]=\sum_{k=1}^{n} 3 k^{2}+3 k+1$

Ruas kanan dari (3) menghasilkan

$\left[2^{3}-1^{3}\right]+\left[3^{3}-2^{3}\right]+\left[4^{3}-3^{3}\right]+\cdots+\left[(n+1)^{3}-n^{3}\right]=-1+(n+1)^{3}$

Jadi,

$-1+(n+1)^{3}=\sum_{k=1}^{n} 3 k^{2}+3 k+1$

$-1+(n+1)^{3}=3 \sum_{k=1}^{n} k^{2}+3 \sum_{k=1}^{n} k+\sum_{k=1}^{n} 1$

Karenanya

$\sum_{k=1}^{n} k^{2} & =\frac{1}{3}\left[(n+1)^{3}+3 \frac{n(n+1)}{2}-(n+1)\right]$

$=\frac{n+1}{6}\left[2(n+1)^{2}-3 n-2\right]$

Contoh 5 Hitung $\sum_{k=1}^{30} k(k+1)$

Penyelesaian $\sum_{k=1}^{30} k(k+1)=\sum_{k=1}^{30}\left(k^{2}+k\right)=\sum_{k=1}^{30} k^{2}=\sum_{k=1}^{30} k$

$=\frac{30(31)(61)}{6}+\frac{30(31)}{2}=9920$

Catatan:

Dalam rumus

$\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

Atau

$1^{2}+2^{2}+3^{3}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

NOTASI SIGMA UNTUK DERET

Notasi Sigma seringkali digunakan dalam induksi matematika untuk membuktikan suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli. Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal Notasi Sigma untuk Deret

Buktikan bahwa jumlah n suku pertama bilangan ganjil adalah n2

Pembahasan:

Ingat deret bilangan ganjil ini:

$1 + 3 + 5 + … + (2n-1) =\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$

Kita dapat menguji kebenaran model tersebut dengan n = 1

$\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = 2(1)-1 = n^2$

Jika pernyataan di atas benar untuk n = k, maka buktikan bahwa bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, dengan hasil (k + 1)2.

$\sum_{i=1}^k(2 i-1)=\k^2$

$\sum_{\i=1}^{k+1}(2 \i-1)=\sum_{i=1}^k(2 \{i}-1)+\sum_{\i=1}^{k+1}(2 \i-1)$

$=k^2+\{2(k+1)-1\}$

$=k^2+2 k+1$

$=(k+1)^2$

Maka Terbukti pernyataan tersebut benar.

Catatan tambahan: Notasi Sigma sangat penting karena banyak digunakan dalam materi lain seperti barisan dan deret serta induksi matematika. Notasi sigma digunakan untuk meringkas penjumlahan yang panjang dari suku-suku suatu deret. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.