Integral Tentu-Teorema Dasar Kalkulus

'DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE'

Seperti biasa, sebelum membahas lebih lanjut mengenai pokok materi, mari kita membahas dasarnya dulu, yaitu mengenai rumus integral tentu. Kita akan kenalan dulu sama pengertian dari integral tentu. Dari namanya udah jelas ada kata “tentu”, berarti integralnya sudah ditentukan.

Yap, betul. Jadi, pengertian dari integral tentu adalah integral yang udah ditentukan nilai awal dan akhirnya, ada rentang a-b. Nah, a-b merupakan batas atas dan bawah. Adapun beberapa rumus dari integral tentu adalah sebagai berikut.

Rumus-Rumus Integral Tentu

Jika f dan g fungsi terintegralkan pada selang [a,b] dan k konstanta, maka:

(1) `\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x`

(2) `\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x`

(3) `\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x`

(4) `\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x, a>b`

(5) `\int_{a}^{c} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{b}^{c} f(x) d x, a b \in[a, c]`

 

Contoh 1

`\int_{-1}^{2}6x^{2}dx=6\int_{-1}^{2}x^{2}dx`

`=6[\frac{x^{3}}{3}]_{-1}^{2}`

`=2(2^{3}-(-1)^{3})`

`=18`

 

Contoh 2

`\int_{1}^{8}\left(x^{1 / 3}+x^{4 / 3}\right) d x`

`=\int_{1}^{8} x^{1 / 3} d x+\int_{1}^{8} x^{4 / 3} d x`

`=\frac{x^{4 / 3}}{4 / 3}|_{1} ^{8}+\frac{x^{7 / 3}}{7 / 3}_{1} ^{8}`

`=frac 3 4\left(8^{4 / 3}-1^{4 / 3}\right)+\left(8^{7 / 3}-1^{7 / 3}\right)`

`=65,68`

 

Contoh 3

`\int_{-1}^2 (x^2-3)dx = \left[\frac1 3x^3-3x]_{-1}^2`

`= (\frac1 3(2)^3-3(2)\right)-\left(\frac1 3(-1)^3-3(-1))`

`= (\frac8 3-6)-\left(-\frac1 3+3)`

`= \frac8 3+\frac1 3-6-3`

`= \frac9 3-9`

`=-6`

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkuklus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan `f` fungsi kontinyu pada selang `a`, `b` dan andaikan `F` fungsi sebarang

anti turunan dari f, maka: `int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)`

Karena `f` kontinu pada selang `a`, `b`, maka `f` terintegralkan. Andaikan `P : a=x_1<x_2 <x_3<x_{n-1}<x_n=b` adalah partisi sebarang pada selang `a`, `b`. dengan membuat jumlahan yang saling menghapuskan:

`F(b)-F(a)=\left(F\left(x_{n}\right)-F\left(x_{n-1}\right)\right)+\left(F\left(x_{n-1}\right)-F\left(x_{n-2}\right)\right)+\ldots+\left(F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{0}\right)\right)`

`F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)`

Dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan, maka terdapat `\overline{x_{i}}` pada selang bagian `x_i`, `X_{i-1}` sedemikian hingga berlaku:

`F(x_i)-F(x_i-1}``=F^{\prime}(\overline{x_i})(x_1-x_{i-1})`

                                  `=f(\overline{x_{i}}) \Delta x_{i}`

sehingga, `F(b)- F(a)=\sum_{i=1}^{n} f\left(\bar{x}_{i}\right) \Delta x_{i}`

Karena ruas kiri barupa konstanta, maka berlaku:

`F( b)- F(a)=Lim_{P \rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n} f\left(\bar{x}_{i}\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} f(x) d x`

Contoh 1

`\int_{-1}^{2} x^{2} d x=frac 1 3 x^{3}\right]_{-1}^{2}`

                `=\frac1 3\left(2^{3}-(-1)^{3}\right)`

                `=3`

Contoh 2

`\int_{0}^{\pi} Sin x d x=- Cos x\right]_{0}^{\pi}`

                     `=-( Cos \pi- Cos 0)`

                     `=-(-1-1)`

                     `=2`

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

Jika f kontinu pada selang `[ a, b]` dan `x` adalah sebuah (variabel) titik dalam `[a,  b]`, maka:

`\frac{d}{d x}\left(\int_{a}^{x} f(t) d t\right)=f(x)`

Contoh

`\frac{d}{d x}\left(\int_{0}^{x^{2}}(3 t+1) d t\right)=\frac{d}{d x}|3 / 2 t+t|_{0}^{x^{2}}`

                                        `=\frac{d}{d x}\left(3 / 2 x^{4}+x^{2}\right)`

                                        `=6 x^{3}+2 x`

Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a. Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika `f(-x)=f}(x)`, dan ganjil jika `f(-x)=-x f(x)`. Untuk fungsi yang demikian berlaku:

(1) `\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x`, jika f fungsi genap,

(2) `\int_{-a}^{a} f(x) d x=0`, jika f fungsi ganjil

Contoh

`\quad \int_{-\pi}^{\pi} cos\left(1 / \frac{x}{4} 7 \sqrt{x}) d x=\cdots`

`f(x)=cos\left(1 / \frac{x}{4} 7 \sqrt{x})`

`f(-x)=cos\left(-\frac{x}{4})=cos\left(\frac{x}{4})=f(x)`

Karena, `f(-x)=f(x)`, maka `f(x)=\cos \left(\frac{x}{4})` adalah fungsi genap, sehingga,

`\int_{-\pi}^{\pi} cos\left(\frac{x}{4}) d x`

 `=2 \int_{-\pi}^{\pi} cos\left(\frac{x}{4}) d x`

`=8 \int_{0}^{\pi} cos\left(\frac{x}{4}) d\left(\frac{x}{4})`

`=8 Sin\left(\frac{x}{4})|_{0} ^{\pi}`

`=8(sin 1 / 4 pi-Sin 0)`

`=8(1 / \sqrt{2}-0)`

`=4 \sqrt{2`

b. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan `p` sedemikiaan sehingga `f(x+p)=f(x)`, untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi `f`. Bilangan `p` adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika `\quad f \quad` suatu periodik dengan periode `p`, maka:

`\int_{a+p}^{b+p} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x`

contoh

`\int_{0}^{2 \pi}|sin x| d x` 

Jawab:

Karena `f(x)=|Sin x|` fungsi periodik dengan periode `\pi`, maka

`\int_{0}^{2 \pi}|sin x| d x=\int_{0}^{\pi}|sin x| d x+\int_{\pi}^{2 \pi}|sin x| d x`

`=\int_{0}^{\pi}|sin x| d x+\int_{0+\pi}^{\pi+\pi}|sin x| d x`

`=\int_{0}^{\pi}|sin x| d x+\int_{0}^{\pi}|sin x| d x`

`=2 \int_{0}^{\pi}|sin x| d x`

`=2 \int_{0}^{\pi} sin x d x`

`=2(-cos x)|_{0} ^{\pi}`

`=2(-cos \pi-(-cos 0))`

`=2(-(1)-(-1))`

`=4`

c. Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral

Jika f fungsi kontinu pada selang `[a, b]`, maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:

`\int_{a}^{b} f(x) d x=f(c)(b-a)`

Contoh 

Carilah nilai c demikian sehingga `\int_{1}^{3} f(x) d x=f(c)(3-1)`, jika `f(x)=x^{2}`.

Jawab:

Dari `\int_{1}^{3} f(x) d x=\int_{1}^{3} x^{2} d x`

`=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}`

`=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}`

`=\frac{26}{3}`

 maka

`\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`

`c^{2}=\frac{26}{6}`

`c=± \sqrt{\frac{26}{6}}`

`c=± \sqrt{\frac{13}{3}}`

`c=± \frac{\sqrt{39}}{3}`

Untuk `c=-\frac{\sqrt{39}}{3}` tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang `[1,3]` `[1,3]`. Jadi, `c=\frac{\sqrt{39}}{3}`.

 ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.

Subscribe to receive free email updates: