Aplikasi Integral Tertentu-Luas Suatu Luasan

'DEMI KENYAMANAN PEMBACA! SEBELUM MEMBACA DISARANKAN UNTUK MENGGUNAKAN MODE DESKTOP BAGI PARA PENGGUNA MOBILE! DIKARENAKAN BEBERAPA SUSUNAN KATA AKAN BERHAMBURAN PADA MODE MOBILE'

Integral tentu (definite integral) adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan. Materi ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan (4) luas permukaan. Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam bahasan ini adalah menentukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar. Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:

 

1. Luas Suatu Luasan

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

R adalah bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik 

`y=f(x), x=a, x=b`, dan `y=0`

Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

`A(R)=\int_{a}^{b} f(x) d x`

Jika luasan terletak dibawah sumbu  X  maka integral tertentu di atas bernilai negatif,  karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

`A(R)=\int_{a}^{b}-f(x) d x=|\int_{a}^{b} f(x) d x\|`

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

a)            Gambar daerah yang bersangkutan

b)            Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu

c)            Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang

d)            Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut

e)            Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu.

Perhatikan contoh-contoh berikut:

1.      Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

 

Persamaan garis `{AC}` dapat dinyatakan dengan rumus

`\frac{y-y_{A}}{x-x_{A}}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{c}-x_{A}}`

Diperoleh persamaan `\frac{y-0}{x-}=\frac{7-0}{3-0}`

`3 y=7 x` atau `y=\frac{7 x}{3}`

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan  `A(R)=\int_{a}^{b} f(x) d x`

`\Leftrightarrow \int_{0}^{3} \frac{7 x}{3} d x=\left(\frac{7}{6} x^{2})_{0}^{3}=\left(\frac{7}{6} 9)=10,5`

 

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :

Luasan R dibatasi oleh grafik-grafik `x=g(y), y=c, y=d`, dan `x=0`.

Dengan integral tertentu luas luasan `{R}` yang berada disebelah kanan sumbu `{x}`

dinyatakan dalam bentuk `A(R)=\int_{c}^{d} g(y) d y`

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:

`A(R)=\int_{c}^{d}-g(y) d x=|\int_{c}^{d} g(y) d y|`

Contoh 1

Susunlah integral untuk daerah di bawah kurva `y=1+\sqrt{x}` di antara `x=0` dan `x=4`. (Gambar 3)

                         Irisan                                                             Sketsakan

Gambar 3

Aproksimasikan luas irisan khas: `\Delta A_{i}=\left(1+\sqrt{x_{i}}) \Delta x_{i}`

Jumlahkan: `A(R) \approx \sum_{i=1}^{n}\left(1+\sqrt{x_{i}}) \Delta x_{i}`

Ambil limit: `A(R)=\int_{0}^{4}\left(1+\sqrt{x_{i}}) d x`

Jawab :

Begitu kita memahami prosedur lima langkah ini, kita dapat menyingkatnya menjadi tiga langkah: iris, aproksimasikan, integrasikan. Pikirkan kata integrasikan sebagai gabungan dua langkah: (1) jumlah luas irisan dan (2) ambil limit ketika lebar irisan menuju nol. Dalam proses ini `\sum \cdots \Delta x` berubah menjadi `\int \cdots d x` ketika kita mengambil limit. Gambar 4 memberikan bentuk yang diringkas untuk masalah yang sama. 1.

Gambar 4

2. Aproksimasikan

`\Delta A \approx(1+\sqrt{x}) \Delta x`

3. integrasikan

`A(R)=\int_{0}^{4}(1+\sqrt{x}) d x`

 

 

Contoh 2

Segitiga ABC terletak pada `X O Y`, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu `A(0,0), B(3,0)` dan `C(3,7)`. Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawab :

Gambar segitiga `{ABC}` adalah

 Gambar 5

Persamaan garis `{AC}` dinyatakan dengan rumus

`\frac{y-y_{A}}{x-x_{A}}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}`

Diperoleh persamaan `\frac{y-0}{x-0}=\frac{7-0}{3-0}`

3 y=7 x \text { atau } y=\frac{7}{3} x

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan `A(R)=\int_{a}^{b} f(x) d x`

`\Leftrightarrow \int_{0}^{3} \frac{7}{3} x d x=\left.\frac{7}{6} x^{2}|_{0} ^{3}=\frac{7}{6} \cdot 9=10,5` satuan luas

 

Contoh 3

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y=4-x^{2}` dan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab :

Luasan `y=4-x^{2}` yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah

Gambar 6

Perhatikan Gambar 6 di atas luasan yang diketahui `R` berada di atas sumbu- `x` sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral, yaitu:

\begin{aligned}

`A(R)=\int_{a}^{b} f(x) d x`

`\Leftrightarrow \int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}) d x`

`\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{2}\left(4-x^{2}) d x`

 `\Leftrightarrow2\left(4x-\frac1{3}x^3\)_0^2`

`\Leftrightarrow2\left(4.2-\frac1{3}.2^3\)-2\left(4.0-\frac1{3}.0^3\)`

`\Leftrightarrow2\left(8-\frac8{3}\)=\frac{32}3`

 

 

b. Daerah antara 2 Kurva

Perhatikan kurva-kurva `y=f(x)` dan `y=g(x)` dengan `f(x) \geq g(x)` pada selang `[a, b]`, seperti gambar berikut :

`\Delta A \approx(f(x)-g(x)) \Delta x`

Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan:

`A(R)=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x`

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

`A(R)=\int_{c}^{d}(f(y)-g(y)) d y`

ATAS KEKURANGANNYA MOHON DIMAAFKAN, AUTHOR MASIH DALAM TAHAP BELAJAR UNTUK MEMBUAT BLOG INI.

 

Subscribe to receive free email updates: